hiperbola

es una curva abierta de dos ramas obtenida cortando un cono recto mediante un plano no necesariamente paralelo al eje de simetría, y con ángulo menor que el de la generatriz respecto del eje de revolución
una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano, tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es igual a la distancia entre los vértices, la cual es una constante positiva

Elementos de la hipérbola

Eje transversal o transverso

Se le denomina al segmento rectilineo donde se encuentran los focos y los vértices de la hipérbola. Su valor es ${\displaystyle 2a}$ y es perpendicular al eje conjugado

Eje conjugado o imaginario

Es el segmento rectilineo que pasa por el centro de la hipérbola y que es perpendicular o normal al eje transversal y cuya longitud es de ${\displaystyle 2b}$

Eje focal

Es el segmento rectilineo cuyos extremos son los focos de la hipérbola y cuya longitud es de ${\displaystyle 2c}$. Este eje es colineal con el eje transversal

Asíntotas

Son las rectas que se intersectan en el centro de la hipérbola y se acercan a las ramas al alejarse estas del centro de la hipérbola. Las ecuaciones de las asíntotas aplicables a las ecuaciones (1) y (2) son, respectivamente:

Las asíntotas de las hipérbolas representadas por las ecuaciones (4) y (5) son expresadas, respectivamente, igualando estas a cero, como sigue

Vértices

Los vértices de una hipérbola son los puntos que son los extremos de su eje transversal.

Focos

Son dos puntos, ${\displaystyle F_{1}\,y\,F_{2}}$, respecto de los cuales permanece constante la diferencia de distancias (en valor absoluto) a cualquier punto, ${\displaystyle x}$, de dicha hipérbola.

${\displaystyle \vert d(F_{1},x)-d(F_{2},x)\vert =2a}$

Centro

Punto medio de los vértices y de los focos de la hipérbola

Tangentes

La tangente a una hipérbola en cualquier punto de la curva es bisectriz del ángulo formado por los radios vectores de ese punto.

Radio de curvatura

Sea ${\displaystyle M(x_{0},y_{0})}$ un punto de la hipérbola, entonces el radio de curvatura de la curva es: ⁷​

${\displaystyle R=a^{2}b^{2}\left({\frac {x_{0}^{2}}{a^{4}}}+{\frac {y_{0}^{2}}{b^{4}}}\right)^{\frac {3}{2}}={\frac {(r_{1}\cdot r_{2})^{1.5}}{ab}}}$

Áreas

Área comprendida entre una rama de hipérbola y una cuerda que la atraviesa[editar]

Sea un segmento ${\displaystyle AMN}$ donde ${\displaystyle A}$, es el vértice de una rama y ${\displaystyle M}$ y ${\displaystyle N}$ son los extremos de una cuerda perpendicular al eje focal, entonces el área es: ⁷​

${\displaystyle AMN=x\cdot y-a\cdot b\cdot \ln \left({\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}\right)=a\cdot b\cdot \cosh ^{-1}\left({\frac {x}{a}}\right)}$

Área bajo un arco de hipérbola[editar]

Sea un cuadrilátero curvo ${\displaystyle OAMG}$, formado por los puntos ${\displaystyle O}$ que es el origen de coordenadas; ${\displaystyle A}$ que es un vértice; ${\displaystyle M(x,y)}$ que es un punto de la rama de una hipérbola y ${\displaystyle G}$ un punto sobre una asíntota, tal que el segmento ${\displaystyle MG}$ es paralelo a la otra asíntota. El área comprendida por los límites de la figura es: ⁷​

${\displaystyle OAMG={\frac {a\cdot b}{4}}+{\frac {a\cdot b}{2}}\cdot \ln \left({\frac {2OG}{c}}\right)}$